Urodził się 15 sierpnia 1898 w Żmerynce, zmarł 2 lipca 1966 w Warszawie.
Właściwie Jan Wiktor Lesman. Był wnukiem warszawskiego księgarza i wydawcy Bernarda Lesmana, a przy tym kuzynem (po stronie ojca) poety Bolesława Leśmiana.
Brzechwa ukończył Zakład Naukowo-Wychowawczy Ojców Jezuitów w Chyrowie, a następnie, po przyjeździe do Warszawy – Wydział Prawa Uniwersytetu Warszawskiego. Jednocześnie z zapisaniem się na studia wstąpił do 36 Pułku Piechoty Legii Akademickiej i jako ochotnik uczestniczył w latach 1920-1921 w wojnie polsko-bolszewickiej, za co go odznaczono. Z zawodu był adwokatem. W latach 1924-1939 był radcą prawnym ZAiKS-u. Był specjalistą w dziedzinie prawa autorskiego, które wybrał jako specjalizację studiów.
Jeszcze jako nastolatek zadebiutował w 1915, kiedy to opublikował swoje pierwsze wiersze w piotrogrodzkim "Sztandarze" oraz w kijowskich "Kłosach Ukraińskich".
Po demobilizacji w 1920 i rozpoczęciu studiów prawniczych zaczął dorabiać jako autor tekstów satyrycznych oraz piosenek i skeczy. Współpracował wówczas z takimi znanymi kabaretami, jak m.in.: Qui Pro Quo, Czarny Kot czy Morskie Oko. Posługiwał się najczęściej pseudonimami Szer-Szeń oraz Inspicjent Brzeszczot.
W 1926 ogłosił tom poezji „Oblicza zmyślone”. Pierwszy tomik wierszy dla dzieci – Tańcowała igła z nitką wydano w 1938 (w tym tomiku znalazły się takie popularne do dziś wiersze, jak: Pomidor, Żuraw i czapla czy też Na straganie). Rok po wydaniu pierwszego tomu z wierszami dla dzieci, w 1939 wydano tom Kaczka Dziwaczka (m.in. wiersze: Znaki przestankowe i Sójka).
Na lata II wojny światowej przypada jeden z najważniejszych okresów twórczości bajkopisarza – napisał on w tym czasie takie utwory, jak m.in. Akademia Pana Kleksa czy Pan Drops i jego trupa. Dwie książki kontynuujące Akademię... (Podróże Pana Kleksa i Tryumf Pana Kleksa) napisał kolejno w 1961 i w 1965.
Brzechwa był zaprzyjaźniony z grafikiem Janem Marcinem Szancerem, autorem licznych ilustracji do jego tekstów.
Tłumaczył z języka rosyjskiego, m.in. utwory A. Puszkina, Siergieja Jesienina i W. Majakowskiego.
Autor komentarza do ustawy o prawie autorskim z 1926 (książka przygotowywana do druku w 1939 ocalała w formie egzemplarzy korekty drukarskiej).
Został pochowany na Cmentarzu Wojskowym na Powązkach.